Théorème de Torricelli
On considère un récipient cylindrique de rayon R1 et de section
S1 percé par un petit trou de rayon R2 et de section S2 contenant un liquide
non visqueux. Soit z la hauteur verticale entre le trou B et la surface du liquide
A.
Si R2 est beaucoup plus petit que R1 la vitesse du fluide en A est négligeable
devant V, vitesse du fluide en B le théorème de Bernouilli
permet d'écrire que :
PA - PB + m.g.z = ½mV2.
Comme
PA = PB (pression atmosphérique), il vient :
V = (2.g.z)½.
La vitesse d'écoulement est indépendante de la nature du liquide.
Ecoulement d'un liquide par un
trou
Si R2 n'est pas beaucoup plus petit que R1, la vitesse du
fluide en A n'est plus négligeable. On peut alors écrire que S1.V1 = S2.V2 (conservation
du volume). Du théorème de Bernouilli, on tire que :
Comme la vitesse d'écoulement est fonction de z, elle n'est plus constante.
En
écrivant la conservation du volume du fluide, on a : -S1.dz = S2.V2.dt. L'intégration
de cette équation différentielle donne la loi de variation de la hauteur de
liquide en fonction du temps.
Cette relation n'est valide que si les conditions d'application du théorème de Bernouilli sont respectées.
L'applet
L'applet simule
l'écoulement d'un liquide par un trou cylindrique.
Les trois zones de texte
permettent de choisir le rayon du réservoir, celui du trou et la hauteur de
liquide initiale.
Pour lancer l'animation, il suffit de valider la dernière
valeur entrée ou de cliquer sur le bouton [Départ].
En cliquant sur
la souris (avec le curseur dans le cadre de l'applet), on gèle de façon temporaire
l'animation.
Daniel BERNOUILLI (1700 - 1782) Physicien et mathématicien suisse.
Evengelista
TORRICELLI (1608 - 1647) Physicien italien