Chaîne linéaire d'atomes identiques
Chaîne limitée d'extrémités immobiles : L'équation de propagation
est identique à celle du cas précédent mais dans ce cas, les conditions aux
limites imposent la présence d'ondes stationnaires. Si la chaîne comporte 2N+1
atomes et si on prend l'origine sur l'atome central, les atomes N et - N doivent
rester immobiles.
Pour l'atome n l'onde incidente vaut A.exp(-ikna) et l'onde
réfléchie B.exp(ikna).
En partant de l'équation (1), montrer, en
écrivant que les atomes N et - N sont immobiles, que : kp =
pp/2Na. (p entier avec 0 < p < 2N+1)
Il n'existe qu'un nombre fini de valeurs possibles pour w
= 2Hsin(pp/4N).
Pour les modes pairs montrer que
B = -A et que pour les modes impairs B = A.
L'applet :
Les cases à cocher permettent de sélectionner soit une chaîne
illimitée soit une chaîne limitée dont les extrémités sont fixes.
Le
bouton [Pause] permet le gel puis la reprise de l'animation.
Chaîne illimitée : L'onde est progressive.
Le curseur vert
permet de faire varier le nombre d'onde k entre 0 et p/a.
(a =30).
Pour les faibles valeurs de k on peut considérer une longueur d'onde
l = 2p/k qui n'a de sens
que si l >> a.
Pour les grandes valeurs
de k, on constate que deux atomes voisins vibrent en opposition de phase.
Chaîne limitée : L'onde est stationnaire.
Le curseur vert
permet de faire varier le nombre p entre 1 et 2N. (N = 50).
Le
nombre d'onde k est donné par k = pp/2Na.
Pour
les valeurs impaires de p, Un = 2A.cos(kna)cos(wt).
Le centre correspond à un ventre de vibration.
Pour les valeurs paires de
p, Un = 2A.sin(kna)cos(wt). Le centre correspond
à un nœud de vibration.
Seule une partie de la chaîne est visualisée.
Comme il est plus difficile de visualiser une vibration longitudinale qu'une
vibration transversale, j'ai représenté en dessous de la chaîne un graphe dont
les ordonnées indiquent les amplitudes des déplacements des atomes.
La courbe qui joint les différents points n'est qu'un simple guide pour les
yeux car le milieu est discontinu.