Un peu de théorie
On considère un fluide non visqueux, incompressible en écoulement laminaire
indépendant du temps. (écoulement dit "stationnaire").
Dans ce cas, on démontre
qu'il existe une fonction F (potentiel des vitesses)
telle que le vecteur vitesse est :
v = grad (F).
On
montre que F satisfait à l'équation de Laplace DF
= 0.
Dans le cas général, il n'existe pas de solution analytique au problème
de Laplace.
Dans
le cas particulier d'un écoulement laminaire autour d'un cylindre de rayon R
d'axe normal à la vitesse du fluide,
les conditions aux limites sont simples et symétriques :
Loin à gauche du
cylindre la vitesse est parallèle à Ox et elle est dirigée vers la droite.
Sur
le cylindre, la vitesse est tangente
au cylindre (Vr = 0) et à grande distance à droite, la vitesse est à nouveau
parallèle à Ox.
En utilisant un système de coordonnées cylindriques (r, q,
z) ou polaires (le problème est un problème plan) on peut vérifier que si v0 désigne la vitesse à l'infini
le
potentiel F = v0(r + R2
/r).cos(q) est solution de l'équation de Laplace.
Démontrer
en utilisant l'expression du gradient en coordonnées cylindriques (polaires)
que :
La
vitesse radiale vaut : Vr = v0(1- R2/r2).cos(q) .
et que la vitesse normale vaut : Vt = - v0(1
+ R2/r2).sin(q).
A
partir de l'expression de la vitesse, il est possible de tracer les lignes de
courant dans le fluide.
Effet Magnus :
On suppose maintenant que le cylindre tourne autour
de son axe et que à cause de la viscosité il entraîne dans sa rotation une mince
couche de fluide d'épaisseur e. On démontre que dans ces conditions, il faut
ajouter à la vitesse tangentielle le terme K(R + e)2/r.
Du côté
du cylindre où la vitesse du fluide augmente, la pression diminue et réciproquement
: le cylindre est soumis à une force (portance) orientée du côté où le
fluide s'écoule le plus vite.
Bien que l'air soit un fluide compressible,
on y observe le même phénomène. L'effet Magnus permet d'expliquer les trajectoires
"anormales" que l'on observe au football avec les balles brossées
et au tennis avec les balles coupées et liftées (avant impact avec le sol).
La balle est soumise à une force latérale qui est dirigée du côté de la balle
où le frottement avec l'air est minimal.
Les trous réalisés à la surface
des balles de golf ont pour but d'augmenter l'entraînement de l'air par la balle
et d'obtenir aussi l'effet Magnus.
L'applet
L'applet simule
les lignes de courant perturbées par le cylindre.
Une boite de dialogue permet
de faire varier le rayon du cylindre entre 1 et 5 cm.
La vitesse à grande
distance de l'origine est choisie faible ( 1 cm/s) pour assurer le régime laminaire.