Définition
On étudie la série :
X_n+1 = k*X_n*(1 - X_n)
avec 0 < X < 1 et donc k < 4
Une construction géométrique simple permet de déterminer les termes de cette série.
On représente X_n+1 en fonction de X_n. On trace la verticale d'abscisse X_n ; son intersection avec la parabole k*X_n*(1-X_n) donne la valeur de X_n+1. L'intersection de l'horizontale passant par ce point avec la diagonale (X_n+1 = X_n) donne l'abscisse du point suivant.
Propriétés.
Pour les valeurs de k < 3, la série converge vers la même valeur (fonction de k) quelle que soit la valeur initiale de X.
Pour 3 < k < 3,46.., la série oscille entre 2 valeurs qui ne dépendent pas de la valeur initiale de X mais uniquement de k.
Si on augmente k, la série oscille entre 4 puis 8 valeurs indépendantes de la valeurs initiale. Si par contre k est supérieur à 3,57, le comportement de la série devient cahotique : une variation même très petite de la valeur initiale modifie profondement la série obtenue
Au delà de cette valeur limite, la série devient sensible aux conditions initiales (SCI).
La prédiction est impossible pour un système SCI même s'il est déterministe.

L'applet.
Cette applet permet de visualiser (mode animation) la détermination des valeurs de la série. Le mode courbe permet de tracer la suite de valeur de X en fonction de n pour n < 200. (les traits gris de liaison sont de simples guides pour les yeux). Deux boîtes de saisie permettent de modifier k et la valeur initiale. En mode animation, l'applet est arrêtée au bout de 300 itérations