Barrière de potentiel
Commentaires :
On considère un flux de particules de masse M et d'énergie E qui arrive sur
une barrière de potentiel de rectangulaire de hauteur V et de largeur a.
Il y a un flux de particules réfléchies et contrairement au modèle classique,
un flux de particules transmises. Ces flux sont caractérisés par des ondes progressives
de type Y = Y0sin(wt - kx) (avec E = hw)
L'équation de Schrödinger
s'écrit :
A droite de la barrière, la
solution est de la forme :
Y = Acos(px).sin(wt) -Asin(px)cos(wt) = Y1 - Y2
= A.sin(wt - px)
Si E < V Pour 0<
x <a, la solution est la somme Y3 - Y4 avec :
Y3
= [Beqx + Ce-qx].sin(wt)
et Y4 = [Deqx + Ee-qx].cos(wt). La continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée pour x =
a permet de déterminer les valeurs des constantes B, C, D et E .
A gauche
de la barrière la solution est la solution est la somme Y5 - Y6 avec :
Y5
= [Fsin(qx) + Gcos(qx)].sin(wt)
et Y6 = [Hsin(qx) + Kcos(qx)].cos(wt). Vérifier que c'est la somme d'une onde progressive qui se dirige
vers la barrière (particules incidentes) et d'une onde progressive qui s'en
éloigne (particules réfléchies). La continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée pour x =
0 permet de déterminer les valeurs des constantes F, G, H et K.
Les vitesses des particules incidentes
et transmises étant identiques, le rapport des flux transmis et incidents est
égal au rapport du carré des amplitudes des fonctions d'onde. Un calcul fastidieux
conduit à :
Si l'on envoie 100 particules sur la barrière, 100.T sont transmises
et 100.(1-T) sont réfléchies.
Si E > V Pour 0<
x <a, la solution est la somme Y3 - Y4 avec : Y3
= (Bsin(qx) + Ccos(qx)).sin(wt)
et Y4 = (Dsin(qx) + Ecos(qx)).cos(wt) avec cette fois :
q2
= 2M(E - V)/h2. La continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée pour x =
a permet de déterminer les valeurs des constantes B, C, D et E . Comme
dans le cas précédent à gauche
de la barrière la solution est la somme d'une onde progressive qui se dirige
vers la barrière (particules incidentes) et d'une onde progressive qui s'en
éloigne (particules réfléchies). Cette fois, le rapport des flux transmis et incidents est
égal à :
Dans la barrière, le nombre d'onde est q = 2p/l.
On peut noter que si qa = np (n entier) alors T =
1 : pour les valeurs l = 2a/n, il y a résonance.
L'applet :
Les zones
de texte permettent de modifier la valeur de la largeur a de la barrière et celle de
l'énergie E. Les unités sont arbitraires (2M.h2 = 1).
La hauteur de la barrière est fixée à V = 5.
La courbe en rouge représente la fonction d'onde
des particules incidentes. Celle en bleu la fonction d'onde
des particules réfléchies. La courbe en blanc correspond à la fonction d'onde
totale dans l'espace à gauche de la barrière. La courbe en jaune représente la fonction d'onde
des particules transmises.
En cliquant sur le bouton droit de la souris,
on peut geler l'animation.
Tester pour différentes valeurs de a et de E.
Examiner par exemple le cas a = 2 et E voisin de 7,45.
Retour au menu.