Deux oscillateurs harmoniques couplés
Commentaires :
On considère deux oscillateurs harmoniques (masse M1 , ressort de raideur
K1 et masse M2, ressort de raideur K1) couplés par un ressort de raideur K2.
On néglige les frottements.
Les pulsations des deux oscillateurs indépendants
sont w12 = K1/M1 et w22
= K1/M2.
La mise en équation du système et sa résolution se trouvent dans la page Systèmes couplés
Pour
certains cas particuliers, une solution analytique du problème est facile à
obtenir.
Afin de pouvoir traiter tous les cas, dans le programme,
le système d'équations différentielles couplées est résolu numériquement en
utilisant la méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4.
Par hypothèse, la vitesse
initiale des deux masse est toujours nulle.
On peut constater que pour des
conditions initiales quelconques la solution est en général d'aspect complexe.
C'est une combinaison linéaire des deux modes propres.
Elle est de
la forme : Xi = Ai.cos(wjt) + Bi.cos(wkt)
(i = 1 , 2)
La valeur des constantes Ai et Bi est fonction des conditions
initiales.
Pour la détermination des fréquences propres wj et wk
consulter la page
sur la chaîne d'oscillateurs.
On pourra constater
que l'on a toujours |wj - wk|
> |w1 - w2|.
On dit que le couplage écarte les fréquences propres.
Utilisation :
La valeur X1 de l'amplitude initiale du premier pendule est toujours égal à +2.
La
valeur de K1 est égale à 1 N/m et M = 1kg.
Avec des valeurs identiques des masses (M1/M2 = 1) et avec K2 non nul, testez les cas :
a) X2 = -2
b) X2 = +2
Ces conditions initiales correspondent aux modes propres symétrique et antisymétrique.
En
particulier pour K2 = K1 = 1 vérifier que le carré du rapport des fréquences des 2 modes
propres est égal à 3.
Avec K2 = 0, on obtient deux oscillateurs harmoniques indépendants.
Avec le rapport M1/M2 voisin de 1 (1,1 par exemple) et un couplage faible
(K2 = 0,1), on obtient des battements
car les périodes propres de chaque oscillateur sont voisines.
Il suffit de valider la dernière valeur saisie dans les zones de texte.
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