Pendule cycloïdal

Présentation :
 Un peu d'histoire :
Au 17e siècle les puissances maritimes désiraient posséder des instruments précis pour la mesure du temps afin de faciliter la navigation (mesure de la longitude) et les rois de France et d'Angleterre avaient offert des sommes considérables à celui qui serait capable de réaliser un chronomètre précis et fiable.
Christiaan HUYGENS (1629-1695) motivé par ce problème étudia le pendule conique et le pendule oscillant entre deux lames courbes; en ce qui concerne ce dernier, il parvint à démontrer que des lames en forme de cycloïde assurent l’isochronisme rigoureux des oscillations.

Le pendule cycloïdal :
 Considérons dans un plan vertical une arche de cycloïde (pointillés bleus) dont la tangente à l'origine est horizontale.
Dans le repère xOy, elle admet la représentation paramétrique suivante :
x = a.(q + sin(q)) et y = a(1 - cos(q)).
La tangente à la cycloïde fait l'angle q/2 avec Ox et si on prend O comme origine, la longueur de l'arc est s = 4a.sin( q/2). On place une masse m sur la cycloïde à l'extrémité d'un fil tendu. La masse est soumise à son poids mg et à la tension R du fil.
On a la relation vectorielle mg + R = mG. En la projettant sur la tangente à la cycloïde (elle fait l'angle q /2 avec Ox) on tire : - m.g.sin (q /2) = md2s/dt2.  Soit d2s/dt2 + s.g/4a = 0.
Cette équation admet comme solution s = s0.cos(2pt/T) avec T = 2p(4a/g)½.
La période des oscillations est indépendante de s0.

Pour réaliser matériellement le pendule cycloïdal, C. Huygens a utilisé la "développée" de la cycloïde qui est une cycloïde égale (tracée en noir sur l'applet) et suspendu la masse mobile à un fil (en rouge sur l'applet) attaché au point de rebroussement de la cycloïde. Les deux arches étant réalisées avec des lames de profil correct, le fil s'enroule successivement sur ces arcs et la masse mobile se déplace sur la cycloïde désirée.
Il faut noter qu'à l'époque d'Huygens, le calcul différentiel était en cours de mise au point par Leibniz (Huygens n'y a d'ailleurs pas adhéré) et que son travail repose surtout sur des considérations géométriques et quelques expérimentations.

L'applet :  
Les cycloïdes d'appui du fil sont tracées en noir.
La trajectoire de la masse mobile est tracée en pointillés bleus.
Le fil de suspension et la masse sont tracés en rouge.
La constante a des cycloïdes est prise égale à 0,1 m.
Le bouton [Départ] lance l'animation avec t = 0.
Un chronomètre affiche la durée écoulée depuis le moment le pendule démarre. L'angle q est également affiché dans le cadre bleu.

Une pression sur le bouton gauche de la souris gèle l'animation, une pression sur le bouton droit permet de poursuivre.

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