Aberrations chromatiques
La distance focale d'une lentille mince d'indice n et dont les faces ont pour
rayons R1 et R2 est donnée par la relation 1/F' = (n - 1)(1/R1 - 1/R2). La vergence
est donc V = k.(n - 1)
Comme l'indice est fonction (non linéaire) de la longueur
d'onde, la distance focale varie avec la couleur de la lumière. Une lentille
est entachée d'aberration chromatique longitudinale que l'on peut évaluer par
dF'/F' = -dn/(n - 1). Cette aberration est fonction du matériau constituant
la lentille et ne peut être diminuée en diaphragmant celle-ci.
Il existe aussi
une aberration transversale (voir l'applet) proportionnelle à l'ouverture de
la lentille.
Pour définir le pouvoir dispersif d'un verre, on mesure l'indice
pour trois radiations caractéristiques : raie D de l'hélium 587,6 nm, raie C
de l'hydrogène 656,3 nm et raie F de l'hydrogène (486,1 nm). On définit la constringence
ou nombre d'Abbe A par le rapport
A = (nD - 1)/(nF
- nC).
Il existe deux familles de verres les "crown" avec
n de l'ordre de 1,52 et A voisin de 60 et les "flint" avec n de l'ordre
de 1,63 et A voisin de 35.
Correction des aberrations.
On
peut effectuer une très bonne correction en utilisant deux lentilles minces
accolées.
La vergence de l'ensemble est V = V1 + V2 = k1.(n1 -
1) + k2.(n2 - 1)
La variation de vergence pour les raies F et
C est donc dV = k1.(n1F - n1C) + k2.(n2F -
n2C). De plus les vergences moyennes sont : V1D = k1.(n1D
-1) et V2D = k2.(n2D -1).
Donc dV = V1D.(n1F - n1C)/(n2D-1) + V2D.(n2F - n2C)/(n2D
-1). En introduisant les constringences, il vient : dV = V1D/A1 + V2D/A2.
Les
distances focales pour les raies C et F seront identiques si V1D/A1 + V2D/A2
= 0.
Les deux lentilles doivent être faites avec des verres différents et
être de natures différentes.
De V = V1 + V2 et de V1D/A1 + V2D/A2
= 0, on tire : V1D = VD.A1/(A1 - A2) et V2D
= -VD.A2/(A1 - A2).
Exercice : Déterminer les lentilles à utiliser
pour fabriquer un achromat convergent de 20 cm de distance focale en utilisant
les verres dont les caractéristiques sont données dans le tableau :
Radiation |
C |
D |
F |
l (nm) |
656,3 |
587,6 |
486,1 |
crown |
1,5153 |
1,5179 |
1,5241 |
flint |
1,6182 |
1,6231 |
1,6355 |
L'applet :
Trois zones de texte permettent de modifier les valeur des indices pour les
raies C, D et F. Pour observer un phénomène visible, il faut s'écarter des valeurs
réelles.
Deux boutons permettent de modifier la taille du diaphragme.
Vérifier que l'ouverture
du diaphragme n'a aucune influence sur l'aberration longitudinale mais qu'elle
agit sur l'aberration transversale.